Question

已知数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13．数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，试比较c_n与c_n+1的大小．

Answer

（Ι）由数列{an}为等差数列，根据a2=5，a4=13，利用等差数列的性质求出公差d的值，进而由a2及d的值，可得出等差数列{an}的通项公式，当n=1时，T1=b1，根据Tn+bn=3①，得到b1的值，再由数列的递推式得到Tn-Tn-1=bn，由Tn-1+bn-1=3，记作②，①-②得到bn=bn-1，可确定出此数列为公比为的等比数列，写出{bn}的通项公式即可；
（II）将第一问得到的数列{an}及数列{bn}的通项公式代入cn=an•bn，整理后，表示出cn-cn-1，令cn-cn-1=0，求出n的值，可得出cn-cn-1大于0及小于0时n的范围，进而得出n为1或2时，cn＞cn-1；当n≥3时，cn＜cn-1．
【解析】
（Ι）∵数列{an}是等差数列，满足a2=5，a4=13，
∴公差d==4，
∴an=a2+（n-2）d=4n-3，
∵数列{bn}的前n项和是Tn，Tn+bn=3①，
∴当n=1时，T1=b1，即b1=；
当n≥2时，Tn-Tn-1=bn，由题意可得Tn-1+bn-1=3②，
①-②得：2bn-bn-1=0，即bn=bn-1，即公比q=，
∴bn=•（）n-1；
（II）∵an=4n-3，bn=•（）n-1，
∴cn=an•bn=（4n-3）••（）n-1=（6n-）•（）n-1，
令cn-cn-1=（）n-1（6n--12n+21）=（）n-1（-6n）=0，
解得：n=，
则n=2时，cn＞cn-1；当n≥3时，cn＜cn-1．