Question

在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、F、G分别为PC、AC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

Answer

（I）首先根据BC⊥PB，BC⊥AB，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAB，从而PA⊥BC，然后利用等腰三角形PAB的中线，得到PA⊥BG，再用线面垂直的判定定理，得到PA⊥平面BCG，最后用面面垂直的判定定理，得到平面BCG⊥平面PAC；
（II）连接BE，取BE中点MS，连接PM并延长，交BC于S点，在△ABC内过点S作SN∥AB，交AC于N点，则点N就是所求的点．证明如下：首先在Rt△PBC中，利用正切算出∠BPC=60°，从而有BE=AE=PB，得到△PBE是等边三角形，结合M是BE中点，得到PS⊥BE，然后利用直线与平面垂直的判定与性质，得到SN⊥平面PBC，结合BE⊂平面PBC，得到BE⊥SN，利用直线与平面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PSN，最后根据PN⊂平面PSN，结合线面垂直的定义，得出PN⊥BE．
【解析】
（I）∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PB，
∵BC⊥AB，AB、PB是平面PAB内的相交直线，
∴BC⊥平面PAB
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC
又∵△PAB中，BA=BP，G为PA中点，
∴PA⊥BG
∵BC∩BG=B，BC、BG⊂平面BCG，
∴PA⊥平面BCG，
∵PA⊂平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上存在一点N，使PN⊥BE．
连接BE，取BE中点MS，连接PM并延长，交BC于S点，
在△ABC内过点S作SN∥AB，交AC于N点，则点N就是所求的点．
∵Rt△PBC中，PB=2，BC=2，
∴tan∠BPC==，可得∠BPC=60°
∵E是Rt△PBC斜边上的中线，
∴BE=AE=PB=2，△PBE是等边三角形
∵M是BE中点，∴PM⊥BE，即PS⊥BE，
由（I）可得：AB⊥PB，结合AB⊥BC，PB、BC是平面PBC内的相交直线
∴AB⊥平面PBC，
∵SN∥AB，∴SN⊥平面PBC，
∵BE⊂平面PBC，∴BE⊥SN，
又∵SN、PS是平面PNS内的相交直线，
∴BE⊥平面PSN
∵PN⊂平面PSN
∴PN⊥BE．