Question

F₁、F₂为双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为    ．

Answer

先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点M的坐标，结合∠MAB=30°求出a，b之间的关系，进而求出离心率即可．
【解析】
由题得以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为：c；
故圆的标准方程为：x2+y2=c2；
又双曲线的其中一条渐近线方程为：y=x
联立可得：，即M（a，b）．
故MB垂直于AB；
所以tan∠MAB===tan30°；
即⇒=⇒===．
故双曲线的离心率为．
故答案为：．