Question

已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且，对任意x，y∈（-1，1），都有，数列{a_n}满足．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（a_n）}的通项公式；
（3）令，证明：当n≥2时，．

Answer

（1）令x=y，则得f（0）=0，再令x=0，则得0-f（y）=f（-y），故函数f（x）是奇函数．
（2）令y=-x，可得f（x）=•f（），故有f（an）=•f（）=f（an+1），故数列{f（an）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（）=1，由此求得f（an）的解析式．
（3）先求出a2=，易证n=2时，不等式成立，假设 ，先证明数列{an}为增数列，
可得 ＜an＜1，故有|ai-ak+1|＜．用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立，命题得证．
【解析】
（1）证明：∵，任取x，y属于（-1，1）且x=y，则有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，则 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）在中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（），即 f（x）=•f（）．
∴f（an）=•f（）=f（an+1），
故数列{f（an）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（）=1，
故f（an）=1×2n-1=2n-1．
（3）由 可得 a2=，
∵，
故当n=2时，|-|=|a1+a2-a1-|=||＜==，故当n=2时，不等式成立．
假设当n=k时，不等式成立，即 ，
则 =|+ak+1-Ak+1|＜+|ak+1-Ak+1|
＜+||．
由于＜1，故有an+1-an=＞0，故数列{an}为增数列．
故当n≥2时，＜an＜1，∴|ai-ak+1|＜，i=1，2，3…k．
∴+||
≤+||+||+…+||=+k×＜+=．
故当n=k+1时，成立．
综上可得 成立．