Question

某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD，下半部分是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图1）．该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图2，其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成．
（1）求直线AM与平面ABCD，所成角的正弦值；
（2）求二面角A-MN-C的余弦值；
（3）求该建筑物的体积．

Answer

（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再过F作FE∥BC，交CD于E，连接EN，先证明AB⊥平面EFN，再求出AM=BN=，利用M到平面ABCD的距离为1，即可求得直线AM与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）根据AB⊥平面EFN，AB∥MN，可得∠ENF为二面角A-MN-C的平面角，利用NF=NE=，EF=2，即可求得二面角A-MN-C的平面角；
（3）在平面BAMN内，作MN⊥AB于H，过H作HG∥BC交CD于G，连接MG．先证明平面MHG∥平面NFE，结合MN∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．从而将该建筑物分为四部分：三棱柱MHG-NFE+四棱锥M-ADGH+四棱锥N-BCEF+长方体ABCD-A1B1C1D1，分别求出它们各自的体积，相加即得该建筑物的体积．
【解析】
（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再过F作FE∥BC，交CD于E，连接EN
∵AB⊥NF，AB⊥EF，NF∩EF=F，
∴AB⊥平面EFN．
根据该建筑物的左视图，可得△EFN是斜边EF=2的等腰直角三角形．
∴NF=EF=
∵四边形ABNM是等腰梯形，MN∥AB，NF是高，
∴BF=（AB-MN）=（4-2）=1．
∴Rt△BFN中，BN=
结合四边形ABNM是等腰梯形，得AM=BN=．
∵M到平面ABCD的距离为1
∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为=
（2）∵AB⊥平面EFN，AB∥MN
∴∠ENF为二面角A-MN-C的平面角
在△ENF中，NF=NE=，EF=2，∴∠ENF=90°
∴二面角A-MN-C的平面角为90°
（3）在平面BAMN内，作MN⊥AB于H，过H作HG∥BC交CD于G，连接MG，
∵平面BAMN中，MH、NF都与AB垂直
∴MH∥NF，
∵MH⊂平面MHG，NF⊄平面MHG，
∴NF∥平面MHG，同理可得EF∥平面MHG．
∵NF、EF是平面NFE内的相交直线
∴平面MHG∥平面NFE
又∵MN∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，
∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．
可得：V三棱柱MHG-NFE=S△EFN×MN=×2×1×2=2，
又∵矩形ABCD中，FE∥BC，
∴SBCEF=BF×BC=1×2=2，可得V四棱锥N-BCEF=×SBCEF×1=
同理可得：V四棱锥M-ADGH=，
又∵V长方体ABCD-A1B1C1D1=SABCD×A1A=2×4×4=32
∴该建筑物的体积为V=V三棱柱MHG-NFE+V四棱锥M-ADGH+V四棱锥N-BCEF+V长方体ABCD-A1B1C1D1=．