Question

记函数的导函数为f′_n（x），函数g（x）=f_n（x）-nx．
（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若实数x和正数k满足：，求证：0＜x＜k．

Answer

（Ⅰ）由g（x）=（1+x）n-1-nx，可求得g′（x）=n[（1+x）n-1-1]，分n（n≥2）为偶数与n为奇数讨论导数的符号，即可求得其单调区间和极值；
（Ⅱ）由可求得x=，设分子为h（k）=（nk-1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，从而h（k）＞h（0）=0，求得x＞0；
进一步可求得x-k=＜0，从而得证0＜x＜k．
【解析】
（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n-1-nx，所以g′（x）=n[（1+x）n-1-1]．…（2分）
①当n≥2且n为偶数时，n-1是奇数，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．
所以g（x）的递减区间为（-∞，0），递增区间为（0，+∞），极小值为g（0）=0．…（5分）
②当n≥2且n为奇数时，n-1是偶数，
由g'（x）＞0得x＜-2或x＞0；由g'（x）＜0得-2＜x＜0．
所以g（x）的递减区间为（-2，0），递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞），
此时g（x）的极大值为g（-2）=2n-2，极小值为g（0）=0．…（8分）
（Ⅱ）由得，
所以1+x=，x=…（10分）
显然分母（n+1）[（1+k）n-1]＞0，设分子为h（k）=（nk-1）（1+k）n+1（k＞0）
则h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n-1（nk-1）=n（n+1）k（1+k）n-1＞0，
所以h（k）是（0，+∞）上的增函数，所以h（k）＞h（0）=0，故x＞0…（12分）
又x-k=，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）n-1-nx是（0，+∞）上的增函数，
故当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）n＞1+nx，所以1+k（n+1）＞（1+k）n+1
所以x-k＜0，从而x＜k．综上，可知0＜x＜k．…（14分）