Question

已知函数f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与的大小并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点，故f（x）=2x-1，又C（n，Sn）在f（x）的图象上，由此能求出{an}的通项公式及前n项和Sn．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，由错位相减法可求得，由此能求出数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）由，能比较Tn与的大小并说明理由．
（本小题14分）
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点，
∴f（x）=2x-1，
又C（n，Sn）在f（x）的图象上，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
令，
由错位相减法可求得，
又，
故．
（Ⅲ）由
当n=1时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=0，
当n=2时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=-6，
当n=3时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=12，
下证n≥3时，，
即证n≥3时，2n＞2n+1，
∵n≥3时，成立，
∴n≥3时，成立，
综上所述：n=1时，；
n=2时，；
n≥3时，．