Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的图象过点P（-1，2）且在P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在区间（-∞，m）及（n，+∞）上均为增函数，试证：n-m＞1．

Answer

（Ⅰ）由题意可得f′（-1）=3a-2b，过P的切线与直线x-3y=0垂直，c=0，可解得a=1，b=3，从而利用导数法可求得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=（a+1），代入f′（x）=3ax2+2bx，可得f'（x）=3ax2+3（a+1）x，利用f′（x）≥0得：x≤-或x≥0，结合题意即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2+c，
∴f′（x）=3ax2+2bx，
∴f′（-1）=3a-2b，
又过P的切线与直线x-3y=0垂直，
∴3a-2b=-3，
又c=0，
∴f（-1）=-a+b=2，联立，解得a=1，b=3．
∴f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x；
由f'（x）≥0⇒x≤-2或x≥0；f'（x）＜0⇒-2＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-2]及[0，+∞）上单调递增，在[-2，0]上单调递减．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b=（a+1），
∴f'（x）=3ax2+3（a+1）x且a＞0，令f′（x）≥0得：x≤-或x≥0，
又f（x）在区间（-∞，m）及（n，+∞）上均为增函数，
∴n-m≥0-（-）==1+＞1．