Question

已知a＞0，函数（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4，当a=1时，若对任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）令，可得x=a，进而a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数；0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，故可求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在x1∈（0，e）的最小值为0，对任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则需要f（x）min≥g（x）min，根据g（x）=（x-b）2+4-b2，即可求出满足条件的实数b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）令，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，∴；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，∴f（x）min=f（a）=lna；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在x1∈（0，e）的最小值为0，
对任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则需要f（x）min≥g（x）min，
g（x）=（x-b）2+4-b2
当b≤1时，g（x）min=g（1）=5-2b≤0不成立
当b≥3时，g（x）min=g（3）=13-6b≤0恒成立
当1＜b＜3时，g（x）min=g（b）=4-b2≤0此时2≤b＜3
综上知，满足条件的实数b的取值范围{b|b≥2}