设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且A...

设A为椭圆

（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|= ；
（2）若θ∈[ manfen5.com 满分网

，

]，则该椭圆离心率的取值范围为．

（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0），由AF⊥BF，可得=0，从而可得x2+y2=c2=a2-b2，|AB|=2|AO|，代入可求（2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解析】（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0）， ∵AF⊥BF， ∴=c2-x2-y2=0 ∴x2+y2=c2=a2-b2 ∴|AB|=2|AO|= （2）∵B和A关于原点对称 ∴B也在椭圆上设左焦点为F′ 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴e== ∵a∈[π，π] ∴π≤α+π≤π ∴≤sin（α+π ）≤1 ∴ 故答案为：2；

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等