Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．
（I）求证：EF⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积．

Answer

（Ⅰ）连接BD，由题意可证明BD⊥AC，从而有AC⊥平面PBD，继而得AC⊥PD，而EF∥AC，问题得证；
（Ⅱ）三棱锥D-PEF的体积VD-PEF转化为求VP-DEF即可．
证明：（Ⅰ）连接BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC…2′
又PB⊥平面ABC，而AC⊂平面ABC，
∴PB⊥AC，又因为BD，PB⊂平面PBD且BD∩PB=B，
∴AC⊥平面PBD…4′
又∵PD⊂平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∴EF⊥PD…6′
（Ⅱ）【解析】
由题有，PB⊥平面DEF，又∠PAB=45°，故PB=2…8′
而VD-PEF=VP-DEF…10′
∵四边形BEDF为正方形，|BE|=|ED|=1，
∴VP-DEF=•S△DEF•|PB|=×=
∴VD-PEF=…12′