Question

某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，该几何体的表面积是    ．

Answer

由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为1的直角三角形，一条棱长为2，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第一步是找到关于a，b的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发现，可以先用参数a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用公股定理建立关于a，b的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求表面积即可．
【解析】
由题设可得其直观图如图，
由三视图知，PA，PB，PC两两垂直
PA=1，BC=2，AB=b，AC=a
如图有PC=，PB=
在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=4，
即a2-1+b2-1=4，即a2+b2=6，
可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，2π）
则a+b=cosθ+sinθ
=2sin（ ）≤2，
最大值当 时取到．
此时a=b=，验证知符合题意．
由此知PC==，PB==，
∴，
，
，
△ABC中，作AH⊥BC，交BC于H，
∵，BC=2，
∴AH=，
∴．
∴几何体的表面积S==2+1．
故答案为：．