Question

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）若b_n=2^kn•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据点在函数图象上，则点满足函数解析式，得到Sn的表达式，进而求得数列{an}的通项公式；
（2）根据题中条件求出kn的表达式，结合（1）求得的数列{an}的通项公式，即可求得数列{bn}的通项公式，进而可以利用错位相消法求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n，（2分）
当n=1时，a1=S1=3；（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n（n-1）2-2（n-1）2n+1，（5分）
当n=1时，也满足，故an=2n+1．（6分）
（2）由f（x）=x2+2x，求导可得f'（x）=2x+1，∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn
∴kn=2n+2．
又∵bn=2kn•an，∴bn=22n+2•（2n+1）=4（2n+1）•4n．（8分）
∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4n①
由①×④可得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4n+1②
①-②可得：-3Tn=4×[3×4+2•（42+43+…+4n）-（2n+1）•4n+1]（10分）
=4×[3×4+2×]∴Tn=．（12分）