Question

如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC．

Answer

要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线（法一和法三）
MN所在的某个平面∥平面PBC（法二）．
证明：证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连接RB，
依题意得====⇒NR=MB．
∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形．
∴MN∥RB．又∵RB⊊平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．
证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连接QM，∵==，
∴QM∥PB．又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC．∴直线MN∥平面PBC．
证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连接RB，依题意有==，
∴=，=++=．∴MN∥RB．又∵RB⊊平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．