Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角．

Answer

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，及线面夹角（1）要证明直线MN∥平面PBC，关键是在平面内找到可能与MN平行的直线，由已知我们根据平行线分线段成比例定理，及得结论；（2）要求直线MN与平面ABCD所成的角，即求直线PE与平面ABCD所成的角，构造三角形，解三角形即可求解．
（1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形．连接AN并延长交BC于点E，连接PE．
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND．
又∵BN：ND=PM：MA，
∴EN：AN=PM：MA．
∴MN∥PE．
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC．

（2）【解析】
由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．
设点P在底面ABCD上的射影为O，连接OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．
由正棱锥的性质知PO==．
由（1）知，BE：AD=BN：ND=5：8，
∴BE=．
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，
根据余弦定理，得PE=．
在Rt△POE中，PO=，PE=，
∴sin∠PEO==．
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin．