Question

已知数列{a_n}中a₁=1，且a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+3^k，其中k=1，2，3，…．
（I）求a₃，a₅；
（II）求{a_n}的通项公式．

Answer

（I）由题意知a2=a1+（-1）1=0，a3=a2+31=3．a4=a3+（-1）2=4，a5=a4+32=13．
（II）由题设条件知a2k+1-a2k-1=3k+（-1）k，a2k-1-a2k-3=3k-1+（-1）k-1，由此得a2k+1-a1=（3k-1）+[（-1）k-1]，于是a2k+1=由此可求出{an}的通项公式．
【解析】
（I）a2=a1+（-1）1=0，
a3=a2+31=3．
a4=a3+（-1）2=4，
a5=a4+32=13，
所以，a3=3，a5=13．
（II）a2k+1=a2k+3k
=a2k-1+（-1）k+3k，
所以a2k+1-a2k-1=3k+（-1）k，
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+（-1）k-1，
a3-a1=3+（-1）．
所以（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）++（a3-a1）
=（3k+3k-1++3）+[（-1）k+（-1）k-1++（-1）]，
由此得a2k+1-a1=（3k-1）+[（-1）k-1]，
于是a2k+1=
a2k=a2k-1+（-1）k=（-1）k-1-1+（-1）k=（-1）k=1．
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an=；
当n为偶数时，