Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是C₁D₁，C₁B₁的中点，G为CC₁上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4．
（Ⅰ）求证AG⊥EF；
（Ⅱ）确定点G的位置，使AG⊥面CEF，并说明理由；
（Ⅲ）求二面角F-CE-C₁的余弦值．

Answer

本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系．由ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，故我们可以设底面边长为2a，又由EC与底面ABCD所成角的正切值是4，我们易求出侧棱长为4a，以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，空间直角坐标系．给出正四棱柱中各顶点的坐标，使用向量法进行证明和求【解析】

（1）要证明AG⊥EF，我们仅需要证明⊥，即•=0即可．
（2）由（1）的结论，要使AG⊥面CEF，只需AG⊥CE，即证明=0即可；
（3）求二面角F-CE-C1的余弦值，由是平面CEF的一个法向量，是平面CEC1的一个法向量，我们只要求出向量与夹角余弦值的绝对值即可，解三角形ADG不难得到结论．
【解析】
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱
∴ABCD是正方形，设其边长为2a，ÐECD是EC与底面所成的角．而∠ECD=∠CEC1，
∴CC1=4EC1=4a．
以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），
A1（0，0，4a），B1（2a，0，4a），C1（2a，2a，4a），D1（0，2a，4a），
E（a，2a，4a），F（2a，a，4a），设G（2a，2a，b）（0＜b＜4a）
（Ⅰ）=（2a，2a，b），=（a，-a，0），=2a2-2a2+0=0，
∴AG⊥EF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG⊥面CEF，只需AG⊥CE，
只需=（2a，2a，b）×（-a，0，4a）=-2a2+4ab=0，
∴b=a，即CG=CC1时，AG⊥面CEF．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当G（2a，2a，a）时，是平面CEF的一个法向量，
由题意可得，是平面CEC1的一个法向量，
设二面角F-CE-C1的大小为q，
则cosq===，
二面角F-CE-C1的余弦值为．