Question

（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

A．  [1，e]       B．   [1，1+e]  C．   [e，1+e]  D．  [0，1]

Answer

A

【解析】由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）

其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数

因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为

“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，

即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，

且交点的横坐标b∈[0，1]，

∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，

∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，

由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，

根据，化简整理得ex=x2﹣x+a

记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，

可得，即，解之得1≤a≤e

即实数a的取值范围为[1，e]

故选：A