Question

下图展示了一个由区间（其中为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间中的实数对应线段上的点，如图1；将线段围成一个离心率为的椭圆，使两端点、恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在轴上，已知此时点的坐标为，如图3，在图形变化过程中，图1中线段的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线与直线交于点，则与实数对应的实数就是，记作,

现给出下列5个命题

①；   ②函数是奇函数；③函数在上单调递增；   ④.函数的图象关于点对称；⑤函数时AM过椭圆的右焦点.其中所有的真命题是:    （   ）

A.①③⑤          B.②③④                       C.②③⑤             D.③④⑤

Answer

D

【解析】

试题分析：本题可用排除法，由可知，点M位于线段AB的中点，则在图3中位于椭圆与y轴负半轴的交点，结合图像可知，故①不对；由可知函数的定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，②不对; 在图3中点M在椭圆上逆时针移动时，点N在直线上自左向右移动值增大，故知③正确；点N关于轴对称可知④正确；若时，由点的坐标为可得，离心率为，可知椭圆焦点坐标为，,,所以，所以AM过椭圆的右焦点F，故⑤正确.

考点：新定义的理解，奇偶函数的判别.