Question

（本小题满分13分）

平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为，渠深为6。

（1）若渠中水深为4，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；

（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽。

Answer

【解析】
(1)水渠横断面过水面积为;

（2）设计改挖后的水渠的底宽为时，可使所挖土的土方量最少。

【解析】本试题以圆锥曲线为背景，结合了定积分的几何意义，表示曲边梯形的面积的，以及直线与抛物线相切的相关知识的综合愚弄。

（1）利用建立直角坐标系，然后设出方程和点的坐标，结合定积分的几何意义表示出面积。

（2）分析为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，则需要结合导数的几何意义来表示得到切线方程，从而表示梯形面积，求解得到最值。

【解析】
(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为,由已知在抛物线上,得,∴抛物线的方程为，令，得，即水面宽为8（）。

∴水渠横断面过水面积为

（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图，

设切点，则函数在点的切线方程为

令，得；

∴此时梯形OABC的面积为

∵，

当且仅当时，等号成立，此时

∴设计改挖后的水渠的底宽为时，可使所挖土的土方量最少。