Question

（本小题满分12分）

如图， 是直角三角形，，交于点，平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

(1)见解析

（2）平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线线垂直的证明，以及二面角的求解，综合考查了同同学们的空间想象的能力和逻辑推理能力和计算能力的运用。灵活运用定理和性质来解决问题的运用。

（1）对于线线垂直的判定，一般通过线面垂直的性质定理得到。关键是判定BM垂直于平面ACEF

（2）建立适当的坐标系，运用坐标表示平面的法向量，利用法向量与法向量的夹角来求解二面角的平面角的问题。

【解析】
（法一）（1）平面平面，．……………1分

又，平面

而平面． ………………………………………3分

是直角三角形，，．

又，．

平面，，平面．

与都是等腰直角三角形．．

，即（也可由勾股定理证得）．………………………………5分

，平面．而平面，

． ………………………………………………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，．

而，平面．

 平面，，

为平面与平面所成的二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．    ………………………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ………………………12分

（法二）（1）同法一，得．             ………………………3分

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，             …………………………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，  …………………………11分

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．     ……………………12分