Question

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，若方程有两个不同的实根和，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：.

Answer

（1）时，在递增；   时，在递增；递减    时，在递减；递增  

（2 的取值范围是       （ⅱ）  

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。借助于导数的符号与函数的单调性的关系来确定单调区间，以及运用函数与方程的思想来分析方程根的问题的综合运用。

（1）首先先求解定义域，然后求解导数，令导数大于零或者导数小于零，得到单调区间。需要对于参数a分类讨论。

（2）当a=1，若方程有两个不同的实根，则可以分析函数y=f(x)的图像的变化情况，确定参数k的取值范围。同时借助于单调性证明不等式

（1）

时，在递增；  又时

时，在递增；递减

时，在递减；递增    5分

（2）（ⅰ）由（1）知在递增；递减 ∴  6分

又，而    ∴

所以的取值范围是                                                 8分

（ⅱ）由（ⅰ）不妨设，则

∵在递减，∴要证. 即证.

即证，即证

令，

   则

∴在递增   ∴，即，即，  ∴