Question

已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，且每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。

(1) 到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?

(2) 到哪一年底，该年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?

  （参考数据：）

Answer

(1) 2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

（2）到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％． 

【解析】本试题主要是考查了等差数列在实际生活中的运用。等差数列的通项公式和前n项和，以及等比数列的通项公式的运用。

（1）分析出中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，可知前n项和。结合不等式得到结论。

（2）根据题意可知新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知 {bn}是等比数列，其中b1=400，q=1．08，，然后借助于等比数列的知识解决。

(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn= 250n+×50=25n2+225n，  令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10．到 2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知 {bn}是等比数列，其中b1=400，q=1．08，则bn=400·(1．08)n-1·0．85．由题意可知an>0．85bn，有

250+ (n-1)·50>400·(1．08)n-1·0．85，即20+ 5n>34(1．08)n-1  ，即4+ n>6.8(1．08)n-1

经检验，满足上述不等式的最小正整数n=6．到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．