Question

为了加快经济的发展，某省选择两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在两城市的周边修建城际轻轨，假设为一个单位距离，两城市相距个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为，使轻轨上的点到两城市的距离之和为个单位距离，

（1）建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线的方程；

（2）若要在曲线上建一个加油站与一个收费站，使三点在一条直线上，并且个单位距离，求之间的距离有多少个单位距离？

（3）在两城市之间有一条与所在直线成的笔直公路，直线与曲线交于两点，求四边形的面积的最大值.

Answer

（1）（2）8（3）

【解析】(1)根据题目条件选取适当的坐标系，本小题应该以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，这样得到的轨迹方程是标准方程，有利于下一步的计算.

（2）由椭圆的定义可知|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.

(3)先求出四边形的面积的表达式，设直线方程为y=x+t,然后与椭圆方程联立，消x后得到关于y的一元二次方程，借助韦达定理，根据,

求出面积关于t的函数表达式，利用函数的方法求最值即可.

【解析】
(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，设曲线E上点，

∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8

∴动点轨迹为椭圆，且a=5,c=4,从面b=3.

∴曲线E的方程为                                                     4分

(2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8                         8分

(3)将代入，得

设

所以当t=0时，面积最大是，此时直线为l:y=x  13分