Question

设数列的前项和为，且.

（1）求

（2）求证：数列是等比数列；

（3）求数列的前项和.

Answer

（1）a1=3 a2=8 a3=18（2）见解析（3）Tn=(5n-5)·2n+5-2×

【解析】（1）令n=1,2,3，根据求出

(2)根据，得到,两式相减可得

,所以,问题到此基本得以解决.

(3)在（2）的基础上，求出的通项公式,再根据通项公式的特点选用合适的数列求和的方法求和即可.

【解析】
(1)由题意，当n=1时，得2a1=a1+3,解得a1=3

当n=2时，得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8

当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18

所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.·························· 3分

(2)因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立

两式相减得：2an+1-2an=an+1+2

所以an+1=2an+2(nN*)，即an+1+2=2(an+2)

所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列·············· 7分

(3)由(2)得：an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(nN*)

则nan=5n·2n-1-2n(nN*)··························· 8分

设数列{5n·2n-1}的前n项和为Pn,

则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)·2n-2+5×n·2n-1,········· 10分

所以2Pn=5×2×21+5×3×22+5×3×23+…+5(n-1)·2n-1+5×n·2n,

所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n·2n,

即Pn=(5n-5)·2n+5(nN*)·························· 12分

所以数列{n·an}的前n项和Tn=(5n-5)·2n+5-2×,

整理得，Tn=(5n-5)·2n-n2-n+5(nN*)   13分