Question

（本小题满分13分）

已知菱形ABCD中，AB=4， （如图1所示），将菱形ABCD沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

  

（1）证明：BD //平面；

（2）证明：

（3）当时，求线段AC₁ 的长．

Answer

证明：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

【解析】本事主要是考查了空间几何体中线面的平行的证明以及线线垂直的证明，以及利用线段的垂直关系求解线段的长度。

（1）先证明线线垂直，然后利用线面平行的判定定理得到，BD //平面；

（2）运用在菱形中，设为的交点,则来证明：

（3）当时，可证明平面．，然后借助于沟谷定理得到线段AC1 的长．

证明：（Ⅰ）因为点分别是的中点，

             所以．                 ………………………………………2分

             又平面，平面,

       所以平面．           ………………………………………4分

        （Ⅱ）在菱形中，设为的交点,

则．                   ………………………………………5分

所以 在三棱锥中，.

又

所以 平面．……………………7分

又 平面，所以 ．………………8分

（Ⅲ）连结．在菱形中，，

所以 是等边三角形.     所以 ．          ……10分

因为 为中点，所以 ．

            又 ，．

            所以 平面，即平面．

………………………………………12分

            又 平面，所以 ．

因为 ，， 所以 ．…13分