Question

（本题满分13分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线轴于点， 动点到直线的距离是它到点的距离的2倍．

（I）求点的轨迹方程；

（II）设点为点的轨迹与轴正半轴的交点，直线交点的轨迹于，两点（，与点不重合），且满足，动点满足，求直线的斜率的取值范围．

Answer

（I）

（II）

【解析】(1)先求出点D（-1，0），设点M（）,根据动点到直线的距离是它到点的距离的2倍，建立关于x,y的方程，然后化简整理可得所求动点M的轨迹方程.

（2）按斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.当直线EF的斜率不存在时，O、P、K三点共线，直线PK的斜率为0.然后再设EF的方程它与椭圆方程联立消y后得关于x的一元二次方程，然后根据，K点坐标为（2，0）

可得,再借助直线方程和韦达定理建立m,b的方程，从而用m表示b,再代入直线方程可求出定点坐标.然后把KP的斜率表示成关于m的函数，利用函数的方法求其范围.

（1）依题意知，点C（－4，0），由 得点D（－1，0）

设点M（），则：

整理得：

动点M的轨迹方程为

（2）当直线EF的斜率不存在时，由已知条件可知，O、P、K三点共线，直线PK的斜率为0.

当直线EF的斜率存在时，可设直线EF的方程为代入 ，整理

得

设

，K点坐标为（2，0）

，代入整理得

解得：

当时，直线EF的方程为恒过点，与已知矛盾，舍去.

当时，

设，由 知

直线KP的斜率为

当时，直线KP的斜率为0， 符合题意

当时，

时取“=”）或≤－时取“=”）

或

综合以上得直线KP斜率的取值范围是.