Question

（本小题满分14分）

     已知函数.

（Ⅰ）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，试判断与的大小关系，并证明你的结论；

(Ⅲ) 当且时，证明：.

Answer

（Ⅰ）的取值范围为.（Ⅱ）当时，.

(Ⅲ)见解析.

【解析】（I）求函数.的导数，注意定义域，令导函数大于或等于0，分离参数，令一端配方求出最值即得的范围；（II）由（Ⅰ）可知： 时，，（当时，等号成立），令，则取两边分别相加整理即得结论；（III）由（2）知，当，令求导可得最小值，所以时，（当且仅当时，等号成立），令，则，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加证明即可.

（Ⅰ），函数的定义域为.

.

依题意，在恒成立，在恒成立.

，

，∴的取值范围为.   ……………………………………………………… （4分）

（Ⅱ）当时，.

证明：当时，欲证 ，只需证.

由（Ⅰ）可知：取，则，

而，（当时，等号成立）.

用代换，得，即，

∴.

在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.

∴当时，.        ………………………………………… （9分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（时，等号成立）.

而当时：，∴ 当时，.

设，则，

∴在上递减，在上递增，

∴，即在时恒成立.

故当时，（当且仅当时，等号成立）.    ……  ①

用代换得： （当且仅当时，等号成立）.     …… ②

当时，由①得，.

当时，由②得 ，用代换，得.

∴当时，，即.

在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.

故当且时，.    …………………………………………………（14分）