Question

（本小题满分13分）

如图，已知抛物线，过点作抛物线的弦,．

   （Ⅰ）若,证明直线过定点，并求出定点的坐标；

  （Ⅱ）假设直线过点，请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在，求出的个数？如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）直线过定点.；（Ⅱ）满足条件的等腰三角形有且只有一个．

【解析】（1）设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，与抛物线联立，利用，转化为坐标运算，数量积为0，找到直线中两个参数的关系，即找到直线过定点；（2）在（1）的条件下，

把用代换，求出中点的坐标，用表示，若存在以为底边的等腰三角形，也就是，整理得关于的方程，解方程就得到满足条件的三角形及其个数.

（Ⅰ）设直线的方程为，点、的坐标分别为.

由消，得.

由，得,.

∵，∴，∴.

∴，

∴或.

∴ 或，∵恒成立. ∴.

∴直线的方程为  ，∴直线过定点. ………………………………（6分）

（Ⅱ）假设存在以为底边的等腰三角形，由第（Ⅰ）问可知，将用代换得

直线的方程为.设点、的坐标分别为.

由消，得.

∴   .

∵的中点坐标为，即，

∵ ， ∴的中点坐标为.

由已知得，即． 

设，则，

在上是增函数.

又，在内有一个零点.

函数在上有且只有一个零点，即方程在上有唯一实根．

所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．……………………………………………………… （13分）