Question

把正方形以边所在直线为轴旋转到正方形，其中分别为的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小.

Answer

（1）、（2）见解析；（3）.

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中，线面平行的判定和线面垂直的判定以及运用空间向量法，或者几何法求解二面角的综合试题。熟练掌握线面平行和垂直度判定定理和性质定理，是解决该试题的关键。另外求解二面角的思路一般可以借助于三垂线定理来完成。

【解析】
（1）设的中点为,连接

∵是的中点∴∥且          ……………(2分)

∵是的中点∴∥且，∴∥且

∴是平行四边形，∴∥     

∵平面,平面，∴∥平面    ……………(4分)

（2）  ∵ 为等腰直角三角形， ,且是的中点 

 ∴  ∵平面平面  ∴ 平面 

∴                                          ………………(6分)

设，则在中，，

则，  ∴ 

 ∴ 是直角三角形，∴

∵   ∴平面…（8分）

（3）分别以为轴建立空间直角坐标系如图，

设，则设,………(9分)

∵平面，∴ 面的法向量为= ……………(10分)

设平面的法向量为，∵  ,     

∴,   ， ∴, 

不妨设，可得                         ………………（11分）

，∴ =

∵ 二面角是锐角，∴ 二面角的大小..........（12分）