Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3且2a_n＋1＝a_n＋2＋a_n（n∈N^*）．数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b₁＝－，b_n＋1＝－S_n（n∈N^*）．

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）若T_n＝＋＋…＋，求T_n的表达式．

Answer

（1）an＝2n－1.∴bn＝

（2）Tn＝－＋（n－1）×3n－1.

【解析】本题主要考查递推关系式求数列的通项公式，利用错位相减法和公式法求出数列前n项和，是解题的关键．

（1）∵2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列，∴公差d＝a2－a1＝2，∴an＝2n－1.∵bn＋1＝－Sn，∴bn＝－Sn－1（n≥2）．∴bn＋1－bn＝－bn，则bn＋1＝bn.又∵b2＝－S1＝1，＝－≠，

∴数列{bn}从第二项开始是等比数列，

∴bn＝

（2）∵n≥2时，＝（2n－1）·3n－2，∴Tn＝＋＋…＋＝－＋3×30＋5×31＋7×32＋…＋（2n－1）×3n－2，∴3Tn＝－2＋3×31＋5×32＋7×33＋…＋（2n－1）×3n－1，

错位相减并整理得Tn＝－＋（n－1）×3n－1.