Question

已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．

（1）证明：；

（2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；

（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析    （Ⅱ）   （Ⅲ）．

【解析】解法一（向量法）

（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；

（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；

（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解法二（几何法）

（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；

（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．

解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，

，，建立如图所示的空间直角坐标系，

则．…………2分

不妨令∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

由，得，令，解得：．∴．

设点坐标为，，则，

要使∥平面，只需，即，

得，从而满足的点即为所求．………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

又∵平面，∴是与平面所成的角，

得，，平面的法向量为    ……10分

∴，

故所求二面角的余弦值为．………12分

解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，

又，∴ ，∴    ……2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）过点作交于点，则∥平面，且有…5分

再过点作∥交于点，则∥平面且，

∴  平面∥平面      …………………7分∴  ∥平面．

从而满足的点即为所求．  …………………………8分

（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．

∴   取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角……10分

∵∽，∴ ，∵，且∴  ，，∴