Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1(n≥2且n∈N^*).

(Ⅰ)证明：数列为等差数列；

(Ⅱ)求数列{ a_n-1}的前n项和S_n

Answer

（1）数列为首项是2公差是1的等差数列.

（2）Sn=n·2n+1

【解析】(1)根据等差数列的定义是定值即可.

(2)在第（I）问的基本上求出的通项公式，进而求出{ an-1}的通项公式,然后根据数列求和的方法求值即可。

【解析】
(Ⅰ)设bn=, b1==2      ……………………………………………1分

bn+1- bn=  …4分

   所以数列为首项是2公差是1的等差数列.      …………………………5分

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

    ∴an-1=(n+1)·2n          …………………………7分

    ∵Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n         ①

∴2Sn=2·22+3·23+…+ n·2n+(n+1)·2n+1             ②……………………9分

①—②，得 - Sn=4+（22+23+…+2n）-(n+1)·2n+1

∴Sn=-4-4（2n+1-1）+(n+1)·2n+1  

∴Sn=n·2n+1