Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD ,PD∥QA，QA=AB=PD．

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的正弦值．

Answer

如图，以D为坐标原点，设正方形的边长为1，建立空间直角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

则

所以即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  …………6分

（II）依题意有B（1，0，1），

设是平面PBC的法向量，则

因此可取

设m是平面PBQ的法向量，则

可取

故二面角Q—BP—C的正弦值为

【解析】略