Question

（本题满分12分）

在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△沿折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

Answer

.解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3

（1）       在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP

（2）       在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，

∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o,

∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600

（3）在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1,

 ∠C=600,∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有

∴PF=PQ①,

∵A1E⊥平面BEP,  ∴A1E=A1Q,

∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,

由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,

从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.

在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得

在△FMQ中，

∴二面角B－A1P－F的大小为

【解析】略