Question

已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数。

（Ⅰ）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；

（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；

（Ⅲ）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即

，矛盾。

所以不是等比数列。

（Ⅱ）证明：

。

又。由上式知，

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）得，于是

，

当时，，从而。上式仍成立。

要使对任意正整数，都有。

即。

令，则

当为正奇数时，：当为正偶数时，，

的最大值为。

于是可得。

综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有；

的取值范围为。

【解析】略