Question

在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点，

（1）证明：；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离．

Answer

arctan2 ，

【解析】．【解析】
（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.      

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD， ∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.                

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N—CM—B的大小是arctan2

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h，

∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为