Question

设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer

 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分12分．

【解析】
（Ⅰ）当时，，，，

所以切线的斜率为.…………………………………………2分

      又，所以切点为.

      故所求的切线方程为：即.…………………………………………4分

（Ⅱ），，.………………………6分

      令，则.

       当时，；当时，.

      故为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=.…………………………………………8分

由题意有，解得.

     所以的取值范围为.…………………………………………10分

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数. …………………………………………12分

又，

所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.

故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. ………………………14分