Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,设移动的时间为ts.

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发,若t=3s,求四边形APQC的面积.

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发,当△PBQ的面积等于8cm²时，求t的值.

（3）若△ABC与△BPQ相似，求t的值.

Answer

（1）15；（2）当△PBQ的面积为8cm2时，t的值为2或4；（3）若△PBQ与△ABC相似，t的值为2.4或.

【解析】

（1）t=3s时，求出BP、BQ的长，然后再根据四边形APQC的面积=SRt△ABC-SRt△BPQ即可解答；（2）用含t的式子将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（3）因为经过t秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=tcm，BP=6-t（cm），BQ=2tcm，然后分别从若△PBQ∽△ABC与若△PBQ∽△CBA去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；

（1）t=3s时，AP=3×1=3，BP=6-3=3，BQ=2×3=6，

S四边形APQC =SRt△ABC-SRt△BPQ=×6×8- ×3×6=15；

（2）由题意得，BP=6﹣t，BQ=2t，

∵∠B=90°，△PBQ的面积为8cm2,

∴BP×BQ=8，

∴×（6﹣t）×2t=8，

∴t1=2，t2=4，

答：当△PBQ的面积为8cm2时，t的值为2或4.

（3）【解析】
∵∠B=∠B，△PBQ与△ABC相似，

∴分两种情况，

第一种情况：当 BP：BA=BQ：BC时，△PBQ∽△ABC，

∴（6﹣t）：6=2t：8，解得：t=2.4，

第二种情况：当 BP：BC=BQ：BA时，△PBQ∽△CBA，

∴（6﹣t）：8=2t：6，解得：t=，

答：若△PBQ与△ABC相似，t的值为2.4或.