Question

已知关于x的方程x²﹣（2m+1）x+m（m+1）=0

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）的最小值为．

【解析】

试题（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系数的关系可得x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，利用配方法可将x12＋x22变形为(x1＋x2)2－2 x1•x2，代入数据即可得出x12＋x22＝2(m＋)2＋，进而即可得出x12＋x22的最小值．

试题解析：

（1）证明：∵△＝[﹣(2m＋1)]2﹣4m(m＋1)＝1＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
∵方程的两根分别为x1、x2，

∴x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1•x2＝(2m＋1)2﹣2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2，

∴x12＋x22的最小值为．