Question

某服装厂里有许多剩余的三角形边角料，找出一块△ABC，测得∠C=90°（如图），现要从这块三角形上剪出一个半圆O，做成玩具，要求：使半圆O与三角形的两边AB、AC相切，切点分别为D、C，且与BC交于点E．

（1）在图中设计出符合要求的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）Rt△ABC中，AC=3，AB=5，连接AO，求出AO的长度．

Answer

（1）作图见解析；（2）AO为．

【解析】

（1）以∠A的平分线与BC的交点为圆心，以到C的距离为半径的半圆即为所求；
（2）连接OD，在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC=4，根据切线的性质和线段的和差关系得到BD=2，设⊙O的半径为r，则OB=4-r，根据勾股定理求得半径，再在Rt△ACO中，根据勾股定理求得AO．

(1) 半圆O就是所求的图形，

（2）连接OD，

∵Rt△ABC中，AC=3，AB=5，根据勾股定理得BC=4，

由题意可知，AB是⊙O的切线，

∴∠ODB=90°，AD=AC=3，

∴BD=2，

设⊙O的半径为r，则OB=4-r，

∴r2+22=（4-r）2.

解得，

在Rt△ACO中，根据勾股定理得.