Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S₁、S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer

见解析

【解析】

（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；

（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1-S2的最大值．

（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=-；

（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，

∴四边形ABDC为等腰梯形，

∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，

∴D（3，2）；

当点D在x轴下方时，

∵∠DBA=∠CAO，

∴BD∥AC，

∵C（0，2），

∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+2，

∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，

∴直线BD解析式为y=2x-8，

联立直线BD和抛物线解析式可得

，解得或，

∴D（-5，-18）；

综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；

（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，

设P（t，-t+2），

由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=- ，

∴H（t，-），

∴PH=yP-yH=-

=-，

设直线AP的解析式为y=px+q，

∴，解得，

∴直线AP的解析式为y=（-t+2）（x+1），令x=0可得y=2-t，

∴F（0，2-t），

∴CF=2-（2-t）=t，

联立直线AP和直线BC解析式可得

，解得x=，即E点的横坐标为，

∴S1=PH（xB-xE）=（-t2+2t）（5-），S2=••，

∴S1-S2=（-t2+2t）（5-）-••，=-t2+5t=-（t-）2+，

∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为．