Question

如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．

（1）求证：DF∥AO；

（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

Answer

见解析

【解析】

（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；

（2）过点作EM⊥OC于M，易知，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；

（1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，

∴AC=AD，∵OC=OD，

∴OA⊥CD，

∴CD⊥OA，

∵CF是直径，

∴∠CDF=90°，

∴DF⊥CD，

∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，

∵AC=6，AB=10，

∴BC==8，

∴AD=AC=6，

∴BD=AB-AD=4，

∵BD2=BF•BC，

∴BF=2，

∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，

∴OA==3，

∵OC2=OE•OA，

∴OE=，

∵EM∥AC，

∴，

∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，

∴，

∴CG=EM=2．