Question

如图，四边形为菱形，点为对角线上的一个动点，连接并延长交射线于点，连接．

求证：；

是否存在这样一个菱形，当时，刚好？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由；

若，且当为等腰三角形时，求的度数．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）或．

【解析】

试题首先证明△DCE≌△BCE得∠EDC＝∠EBC，根据DC∥AB得∠EDC＝∠AFD，从而说明结论；根据DE=EC得出∠EDC＝∠ECD，设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝ x°，则∠CBF＝2x°，根据BE⊥AF得出x的值，然后计算；当F在AB延长线上时，∠EFB为钝角，只能是BE=BF，通过三角形内角和求出未知数的值；当F在线段AB上时，∠EFB为钝角只能是FE=FB，然后进行计算．

试题解析：（1）∵△DCE≌△BCE得∠EDC＝∠EBC 由DC∥AB得∠EDC＝∠AFD

∴∠AFD＝∠EBC

（2）∵DE=EC ∴∠EDC＝∠ECD

设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝ x°，则∠CBF＝2x°

由BE⊥AF得2x+ x＝90° x＝30°

∴∠DAB＝60°

（3）分两种情况：

①当F在AB延长线上时，∵∠EFB为钝角

∴只能是BE=BF，设∠BEF＝∠BFE ＝ x°

可通过三角形内角形为180°得90+ x+ x+ x＝180，x＝30

∴∠EFB＝30°

②当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角

∴只能是FE=FB，设∠BEF＝∠EBF＝ x° ，则有 ∠AFD= 2x°

可证得∠AFD＝∠DCE＝∠CBE 得x+ 2x＝90， x＝30 ∴∠EFB＝120°

综上：∴∠EFB＝30°或120°