Question

已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，．

若，求的长；

求证：．

Answer

（1）2；（2）见解析

【解析】

（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；

（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．

解：【解析】
∵四边形是菱形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

证明：∵为边的中点，

∴，

∴，

在菱形中，平分，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

延长交的延长线于点，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

由图形可知，，

∴．