Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer

(1)详见解析；（2）结论成立，理由详见解析.

【解析】

（1）由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，可知△ABC是等边三角形，因为E是线段AC的中点，所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，由AE=CF得CE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可证明BE=EF.（2）过点E作EG∥BC交AB于点G，可得∠AGE=∠ABC=60°，因为∠BAC=60°，所以△AGE是等边三角形，可知AG=AE=GE，∠AGE=60°，可知BG=CE，因为CF=AE，所以GE=CF，进而可证明△BGE≌△ECF，即可证明BE=EF.

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是线段AC的中点，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∵∠ECF=120°，

∴∠F=∠CEF=30°

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

（2）结论成立；理由如下：

过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

∵在△BGE和△CEF中，BG=CE，∠BGE=∠ECF，GE=CF，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．