Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点(与点C，D不重合)，连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F.设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________________．

Answer

y=-

【解析】

在BC上截取CH=CM，连接MH，则△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，证出∠BHM=∠MDF，∠1=∠2，由ASA证明△BHM≌△MDF，再根据三角形面积公式求解即可．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠C=∠CDA=90°=∠ADE，

∵DF平分∠ADE，

∴∠ADF=∠ADE=45°，

∴∠MDF=90°+45°=135°．

在BC上截取CH=CM，连接MH，如图，

则△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，∴∠CHM=∠CMH=45°，

∴∠BHM=135°，

∴∠1+∠HMB=45°，∠BHM=∠MDF，

∵FM⊥BM，

∴∠FMB=90°，

∴∠2+∠BMH=45°，

∴∠1=∠2．

在△BHM与△MDF中，

，

∴△BHM≌△MDF（ASA），

∴BH=MD=2-x，

∴y与x之间的函数关系式为y=x（2-x）=-x2+x．

故答案为：y=-x2+x．