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已知直线与交于A,B两点,且点A的横坐标为4,过原点O的另一条直线l交双曲线于P...

已知直线交于A,B两点,且点A的横坐标为4,过原点O的另一条直线l交双曲线P,Q两点(P在第一象限),由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,则点P的坐标为_________.

 

或(8,1) 【解析】 作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,AH⊥x轴于H,设P点坐标为(a,b),先确定A点坐标为(4,2),再利用A点坐标确定反比例函数解析式为y=,根据反比例函数的性质可得到四边形APBQ为平行四边形,则根据平行四边形的性质得到S△OPA=S平行四边形APBQ=6,由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH,化简反比例函数的比例系数的几何意义和梯形的面积公式有8+(2+b)(4-a)=4+6+4,再把b=代入得(2+)(4-a)=12,解得a1=2,a2=-8(舍去),当a=2,b==4,所以P点坐标为(2,4). 作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,AH⊥x轴于H,如图, 设P点坐标为(a,b) 把x=4代入y=x得y=2,则A点坐标为(4,2), 把A(4,2)代入y=得k=4×2=8, 所以反比例函数解析式为y=, ∵点A与点B关于原点对称,点P与点Q关于原点对称, ∴OA=OB,OP=OQ, ∴四边形APBQ为平行四边形, ∴S△OPA=S平行四边形APBQ=×24=6, ∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH, ∴8+(2+b)(4−a)=4+6+4, ∵b=, ∴(2+)(4−a)=12, 整理得a2+6a−16=0,解得a1=2,a2=−8(舍去), 当a=2,b==4, ∴P点坐标为(2,4). 同理,当四边形BQPA是平行四边形时,点P的坐标是(8,1). 故答案为(2,4)或(8,1).
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