Question

阅读下面材料，并解答下列问题：

在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：

①已知a和b，求N，这是乘方运算；

②已知b和N，求a，这是开方运算．

现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫作对数运算．

定义：如果a^b=N（a＞0．a≠1，N＞0），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=log_aN．

例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为，所以．

（1）根据定义计算：

①log₃81=　 　；   ②log₃3=　 　；

③log₃1=　 　；    ④如果log_x16=4，那么x=　 　．

（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．用log_aM，log_aN的代数式分别表示log_aMN及，并说明理由．

Answer

（1）①4，②1，③0，④±2；（2）logaMN =logaM+logaN；=logaM﹣logaN；理由见解析.

【解析】

（1）根据对数运算的定义和法则求解即可；

（2）根据对数运算法则总结即可得出解答.

（1）①∵34=81，

∴log381=4；

②∵31=3，

∴log33=1；

③∵30=1，

∴log31=0；

④由题意得：x4=16，

x=±2；

（2）∵ax=M，ay=N，

∴logaM=x，logaN=y，

∵ax•ay=ax+y=MN，

∴logaMN=x+y=logaM+logaN，

∵ax÷ay=ax-y=，

∴=x﹣y=logaM﹣logaN．