Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．

（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．

（2）当点E落在边BC上时，求x的值．

（3）求y与x之间的函数关系式．

（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

Answer

（1）PE=AD=x；（2）4；（3）①y=x2；②y=﹣x2+9x﹣18；（4）3，6，

【解析】

（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

∵PD⊥AB，

∴AD=AP•cos∠A=x=PD，

∵四边形PADE是平行四边形，

∴PE=AD=x；

（2）当点E落在边BC上时，如图1．

∵PE∥AD，

∴∠CPE=∠A=45°，

∵∠C=90°，

∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x．

∵AP+PC=AC，

∴x+x=6，

∴x=4；

（3）①当0＜x≤4时，如图2．

y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2，即y=x2；

②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．

∵AD=x，AB=AC=6，

∴DB=AB﹣AD=6﹣x，

∴DG=DB•sin∠B=（6﹣x）•=6﹣x，

∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，

∴y=S▱PADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；

（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．

EL=PE•sin∠LPE=x•=x，

EM=DE•sin∠EDM=x•=x，

EN=DN﹣DE=DB•sin∠B﹣AP=（6﹣x）•﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．

∵0＜x＜4，

∴x≠x，即EL≠EM．

当EL=EN时，E在∠ACB的平分线上，

有x=6﹣x，解得x=3，符合题意；

当EM=EN时，E在∠ABC的平分线上，

有x=6﹣x，解得x=，符合题意；

②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．

EL=GC=AD•sin∠A=x•=x，

EM=DE•sin∠EDM=x•=x，

EG=DE﹣DG=AP﹣DB•sin∠B=x﹣（6﹣x）•=x﹣（6﹣x）=x﹣6．

∵4＜x≤6，

∴x≠x，即EL≠EM．

当EL=EG时，E在∠ACB的外角的角平分线上，

有x=x﹣6，解得x=6，符合题意；

当EM=EG时，E在∠ABC的外角的角平分线上，

有x=x﹣6，解得x=＞6，不合题意舍去．

综上所述，点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3，6，．